Question

11．如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形，
（1）證明EH∥平面BCD
（2）求證：AB∥平面EFGH，
（3）若AB=6，CD=9，求四邊形EFGH周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理，可得EF∥平面ABD，再由線面平行的性質(zhì)定理，可得EF∥AB，由線面平行的判定定理，即可得證；
（3）設(shè)EH=x，EF=y，運(yùn)用平行線分線段成比例，可得$\frac{x}{9}$+$\frac{y}{6}$=1，即有y=6（1-$\frac{x}{9}$），且0＜x＜9，可得四邊形EFGH的周長為l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{9}$）]=12+$\frac{2x}{3}$，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：∵截面EFGH是平行四邊形，∴EH∥GF，
∵EH?平面BCD，F(xiàn)G?平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG；
∵EF?平面ABD，HG?平面ABD，
∴EF∥平面ABD；
又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，
∴EF∥AB；
又∵EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH；
（2）設(shè)EH=x，EF=y，
∵EH∥CD，EF∥AB，
∴$\frac{EH}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{EH}{CD}$+$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$+$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AC}$=1，
又∵AB=6，CD=9，∴$\frac{x}{9}$+$\frac{y}{6}$=1，
∴y=6（1-$\frac{x}{9}$），且0＜x＜9，
∴四邊形EFGH的周長為
l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{9}$）]=12+$\frac{2x}{3}$，
∴12＜12+$\frac{2x}{3}$＜18．
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（12，18）．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，注意定理的條件和結(jié)論的運(yùn)用，考查四邊形周長的取值范圍，注意運(yùn)用平行線分線段成比例，考查推理能力，屬于中檔題．