Question

將函數(shù)f(x)=sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿa_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式將f（x）化簡得出f（x）=-

1

4

sinx，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，其極值點(diǎn)為x=kπ+

π

2

(k∈Z)，它在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)構(gòu)成以

π

2

為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列．通項(xiàng)公式可求．
（2）由（1）得出bn=2nan=

π

2

(2n-1)•2n，利用錯(cuò)位相消法計(jì)算即可．

解答：解：（1）f(x)=sin

1

4

x•sin

1

4

(x+2π)•sin

1

2

(x+3π)
=sin

1

4

x•cos

1

4

x•(-cos

1

2

x)
=

1

2

•sin

1

2

x•(-cos

1

2

x)
=-

1

4

sinx
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，
其極值點(diǎn)為x=kπ+

π

2

(k∈Z)，
它在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)構(gòu)成以

π

2

為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為
 an=

π

2

+(n-1)•π=

2n-1

2

π(n∈N*)．（6分）
（2）由（1）得出bn=2nan=

π

2

(2n-1)•2n（8分）
∴Tn=

π

2

[1•2+3•22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n]，兩邊乘以2得，
2Tn=

π

2

[1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1]
兩式相減，得-Tn=

π

2

[1•2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)•2n+1]
=

π

2

[2+

8(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)• 2n+1]
=

π

2

[-6+(3-2n)2n+1]
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)式的恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解，以及數(shù)列求和中的錯(cuò)位相消法．