Question

5．已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，-1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上為減函數(shù)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）是否存在實數(shù)b使得關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)，f（x）在x=-2處取得極值點，可得f′（-2）=0利用方程求出a值，從而求解；
（2）f（x）=x²+x+b，變形得x-b+1-ln（1+x）²=0，設(shè)相應(yīng)的函數(shù)為g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究出g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減且在[1，2]上單調(diào)遞增，可得當(dāng)g（1）＜0、g（0）≥0且g（2）≥0時方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，由此建立關(guān)于b的不等式即可得出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{2（1+x）a}{{（x+1）}^{2}}$=2（x+1）-$\frac{2a}{x+1}$，
∵函數(shù)f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函數(shù)，在（-∞，-2）上是減函數(shù)
f（x）在x=-2處取得極值，
依題意得f′（2）=-2+2a=0，所以a=1，從而f（x）=（x+1）²-ln（x+1）²．
（2）若存在實數(shù)b使得條件成立，
方程f（x）=x²+x+b，即x-b+1-ln（1+x）²=0，
令g（x）=x-b+1-ln（1+x）²，則g'（x）=1-$\frac{2}{x+1}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
令g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1；令g'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
要使方程f（x）=x²+x+b在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異的實根，
只需g（x）=0在區(qū)間[0，1]和[1，2]上各有一個實根，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，解得2-2ln2＜b≤3-2ln3，
故存在這樣的實數(shù)b，當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件．

點評 本題給出含有對數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)的解析式并由此討論方程根的分布．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值求法和不等式恒成立的處理等知識，屬于中檔題．