Question

已知實數a，b∈{1，2，3}，則函數y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值的概率為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  9

• C、

  2

  3

• D、

  7

  9

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：函數y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值?x²-2ax+b=0有兩個不等的實數根?△=4a²-4b＞0，即a²＞b．利用古典概型的概率計算公式求出即可．

解答： 解：f′（x）=x²-2ax+b，
函數y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值?x²-2ax+b=0有兩個不等的實數根?△=4a²-4b＞0，即a²＞b．
∵實數a，b∈{1，2，3}，可得基本事件（a，b）共有9個，其中滿足a²＞b的共有6個：（2，1），（3，1），（3，2），（2，3），（2，2），（3，3）．
∴函數y=

1

3

x³-ax²+bx+5有極值的概率P=

6

9

=

2

3

．
故選：C．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、古典概型的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．