【題目】在三棱錐S﹣ABC中,△ABC是邊長為2 的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點.
(1)證明:AC⊥SB;
(2)求三棱錐B﹣CMN的體積.
【答案】
(1)證明:取AC中點D,連接SD,DB.
因為SA=SC,AB=BC,所以AC⊥SD且AC⊥BD,
因為SD∩BD=D,所以AC⊥平面SDB.
又SB平面SDB,所以AC⊥SB
(2)解:因為AC⊥平面SDB,AC平面ABC,所以平面SDC⊥平面ABC.
過N作NE⊥BD于E,則NE⊥平面ABC,
因為平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC.
又因為NE⊥平面ABC,所以NE∥SD.
由于SN=NB,所以NE= SD=
所以S△CMB= CMBM=
所以VB﹣CMN=VN﹣CMB= S△CMBNE= =
【解析】(1)取AC 中點D,連接SD,DB,證明AC⊥平面SDB,由線面垂直的性質(zhì)可得AC⊥SB;(2)由VB﹣CMN=VN﹣CMB , 即可求得三棱錐B﹣CMN的體積.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的個人單打資格選拔賽,本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.若一個運動員出線記分,未出線記分.假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為,他們出線與未出線是相互獨立的.
(1)求在這次選拔賽中,這三名運動員至少有一名出線的概率;
(2)記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運動員所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在對學(xué)生的綜合素質(zhì)評價中,將其測評結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級,其中不小于80分為“優(yōu)秀”,小于60分為“不合格”,其它為“合格”.
(1)某校高二年級有男生500人,女生400人,為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結(jié)果的影響,采用分層抽樣的方法從高二學(xué)生中抽取了90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價結(jié)果,其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表:
等級 | 優(yōu)秀 | 合格 | 不合格 |
男生(人) | 30 | x | 8 |
女生(人) | 30 | 6 | y |
根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“綜合素質(zhì)評價測評結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
男生 | 女生 | 總計 | |
優(yōu)秀 | |||
非優(yōu)秀 | |||
總計 |
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)以(1)中抽取的90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率,且每名學(xué)生是否“優(yōu)秀”相互獨立,現(xiàn)從該市高二學(xué)生中隨機抽取4人.
(i)求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率;
(ii)記X表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的方程為(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,P點坐標(biāo)為(2,3), 求:
(1)過P點的圓的切線長.
(2)過P點的圓的切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)若函數(shù)y=f(x)的零點為﹣1和1,求實數(shù)b,c的值;
(2)若f(x)滿足f(1)=0,且關(guān)于x的方程f(x)+x+b=0的兩個實數(shù)根分別在區(qū)間(﹣3,﹣2),(0,1)內(nèi),求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+(y﹣1)2=5,直線l:mx﹣y+1﹣m=0.
(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;
(2)若定點P(1,1)分弦AB為 = ,求此時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象與的圖象無公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出整數(shù)的最大值;若不存在,請說理由.
(參考數(shù)據(jù):,,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(a)=|x2-a2|dx
(1)當(dāng)0≤a≤1與a>1時,分別求f(a);
(2)當(dāng)a≥0時,求f(a)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為菱形, 底面, , 是上的一點,PE=2EC, 為的中點.
(1)證明: 平面;
(2)證明: 平面.
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