8.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,$\sqrt{3}}$),離心率為$\frac{1}{2}$,左,右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=-$\frac{1}{2}$x+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與圓x2+y2=c2交于C,D兩點(diǎn),且滿足:|AB|=$\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$|CD|,求直線l的方程.

分析 (1)由題意可得:b=$\sqrt{3}$,$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,a2=c2+b2,聯(lián)立解出即可得出.
(2)由(1)知圓x2+y2=1,圓心(0,0)到l的距離$d=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$<1,利用|CD|=2$\sqrt{{r}^{2}-58jh1gw^{2}}$,可得|CD|.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立化為x2-mx+m2-3=0,利用弦長公式可得$|{AB}|=\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}$,利用$|{AB}|=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}|{CD}|$,解得m.

解答 解:(1)由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{b^2}={a^2}-{c^2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$,
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.
(2)由(1)知圓x2+y2=1,圓心(0,0)到l的距離$d=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$<1,
∴$|m|<\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,$|{CD}|=2\sqrt{1-\frac{4}{5}{m^2}}$.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.⇒$x2-mx+m2-3=0,
△>0⇒${x_1}+{x_2}=m,{x_1}{x_2}={m^2}-3$,
∴$|{AB}|=\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}\sqrt{4-{m^2}}$,
由$|{AB}|=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}|{CD}|$,得${m^2}=\frac{1}{3}$$<\frac{5}{4}$,∴$m=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
故直線l的方程為$l:y=-\frac{1}{2}x±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及其圓相交弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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A.[-$\frac{3}{4}$,-$\frac{3}{5}$)∪($\frac{3}{5}$,$\frac{3}{4}$]B.[-1,-$\frac{3}{4}$)∪($\frac{3}{4}$,1]C.($\frac{3}{5}$,$\frac{3}{4}$]D.[-$\frac{3}{4}$,-$\frac{3}{5}$)

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