Question

5．如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，AB=4，AD=DC=2，E，F分別為AD，BC的中點，將梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A為直二面角
（1）求折起后BD與CF所成角的余弦值；
（2）求二面角F-BC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系求出向量$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{CF}$的夾角的余弦即可求折起后BD與CF所成角的余弦值；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-BC-D的大�。�

解答 解：（1）將梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A為直二面角，
則DE⊥AE，
以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，
則AE=DE=1，DC=2，AB=4，EF=3，
即E（0，0，0），A（1，0，0），D（0，0，1），
F（0，3，0），C（0，2，1），B（1，4，0），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-4，1），$\overrightarrow{CF}$=（0，1，-1），
則|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{CF}$|=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{CF}$=-4-1=-5，
則cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-5}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\frac{5}{6}$，
即折起后BD與CF所成角的余弦值為$\frac{5}{6}$；
（2）∵$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，-2，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴設平面FBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則x=-1，z=1，即$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=0，z=1，
即為$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=0，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{2}$，即二面角F-BC-D的大小為$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查空間異面直線所成的角以及二面角的求解，建立坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．