Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=4an﹣3（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn（n∈N*），且b1=2，求數(shù)列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：由Sn=4an﹣3，n=1時，a1=4a1﹣3，解得a1=1． 因為Sn=4an﹣3，則Sn﹣1=4an﹣1﹣3（n≥2），
所以當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1 ，
整理得 ．又a1=1≠0，
所以{an}是首項為1，公比為 的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：因為 ，
由bn+1=an+bn（n∈N*），得 ．
可得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）
= ，（n≥2）．
當(dāng)n=1時上式也滿足條件．
所以數(shù)列{bn}的通項公式為
【解析】（Ⅰ）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項比前一項為常數(shù)即可，先根據(jù)當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 求出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式，再求 ，得道常數(shù)，即可證明．（Ⅱ）先根據(jù)（Ⅰ）求數(shù)列{an}的遞推公式，代入bn+1=an+bn（n∈N*），可得數(shù)列{bn}的遞推公式，再用迭代法，即可求出數(shù)列{bn}的通項公式．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項公式，需要了解等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案．