Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）若點E為PB的中點，棱PC（不包括端點）上是否存在點F，使得DF∥平面AEC？若存在，找出點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：先證明AC⊥BD，PD⊥AC得出AC⊥平面PDB，即證平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）先證明PD∥平面AEC，再假設(shè)存在DF∥平面AEC，由此證明平面PDC∥平面AEC，得出與平面PDC和平面AEC有公共點矛盾，從而證明點F不存在．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC；
又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB；
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）如圖所示；
設(shè)AC、BD交于點O，連接OE，
∵點E為PB的中點，
∴OE∥PD；
又OE?平面AEC，PD?平面AEC，
∴PD∥平面AEC；
假設(shè)棱PC（不包括端點）上存在點F，使得DF∥平面AEC，
∵DF∩PD=D，
∴平面PDC∥平面AEC；
這與平面PDC和平面AEC有公共點C矛盾，
∴假設(shè)不成立，即點F不存在．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，也考查了直線與平面以及平面與平面平行的判定與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．