Question

20．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+a的最大值為2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再把所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=$\frac{4}{3}$在區(qū)間[0，π]上所有根之和．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）為Asin（ωx+φ）+b的形式，根據(jù)最大值列出方程解出a；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律寫出g（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得出方程解的對(duì)稱關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求出各解之和．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}cos2x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+a+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+$\frac{1}{2}$，∴f_max（x）=a+$\frac{3}{2}$=2，解得a=$\frac{1}{2}$．
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（3）g（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）+1．令g（x）=$\frac{4}{3}$得sin（4x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．∵g（x）的周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，∴g（x）=$\frac{4}{3}$在[0，π]上有4個(gè)解，
設(shè)四個(gè)解從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁和x₂關(guān)于g（x）的對(duì)稱軸x=m對(duì)稱，x₃和x₄關(guān)于g（x）的另一條對(duì)稱軸x=n對(duì)稱．
令sin（4x-$\frac{π}{6}$）=1得4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．∴m=$\frac{π}{6}$，n=$\frac{2π}{3}$．
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2m+2n=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換規(guī)律，屬于中檔題．