Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C₁：（x+2）²+y²=m²和圓C₂：（x-2）²+y²=4-m²，其中m∈R，且0＜m＜2．
（I）若m=1，求直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓C₁截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，b）作直線l，使圓C₁和圓C₂在l的兩側(cè)，且均與1相切，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1時(shí)，圓心C₁（-2，0），半徑r=1，圓心C₁到直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的距離d=$\frac{1}{2}$，由此能求出直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓C₁截得的弦長(zhǎng)．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C₁的半徑為d₁，圓C₂的半徑為d₂，由已知得（$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{|2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=4，又l₁，l₂在l的兩側(cè)，得（-2k+b）（2k+b）＜0，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）m=1時(shí)，⊙C₁：（x+2）²+y²=1，圓心C₁（-2，0），半徑r=1，
圓心C₁到直線x-$\sqrt{3}$y+1=0的距離d=$\frac{|-2+1|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為：2$\sqrt{{r}^{2}-hrb9jbl^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
∵直線l使圓C₁和圓C₂在l的兩側(cè)，且均與1相切，
設(shè)圓C₁的半徑為d₁，圓C₂的半徑為d₂，
C₁（-2，0），C₂（2，0），${jrp9dfd_{1}}^{2}+{b79fd5f_{2}}^{2}={m}^{2}+4-{m}^{2}=4$，
∴（$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{|2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=4，
∴$\frac{2（4{k}^{2}+^{2}）}{{k}^{2}+1}$=4，
∴8k²+2b²=4k²+4，
∴b²=2-2k²，①
又l₁，l₂在l的兩側(cè)，
∴（-2k+b）（2k+b）＜0，
∴b²-4k²＜0，②
∴由①②，得$^{2}-4•\frac{2-^{2}}{2}＜0$，
∴b²-2（2-b²）＜0，
解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}＜b＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦長(zhǎng)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．