Question

已知不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，則不等式cx²+bx+a＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由于不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，可得α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的實數根，且a＜0．利用根與系數的關系可把不等式cx²+bx+a＜0化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．解出即可．

解答： 解：不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解集為{x|α＜x＜β，其中0＜α＜β}，
則α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的實數根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
則不等式cx²+bx+a＜0化為

c

a

x2+

b

a

x+1＞0，
∴αβx²-（α+β）x+1＞0．
化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0．
∵0＜α＜β，∴

1

α

＞

1

β

．
∴不等式cx²+bx+a＜0的解集為：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
故答案為：{x| x＞

1

α

或x＜

1

β

}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根之間的關系、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．