Question

10．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD=E，AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，求證：平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 利用Rt△中的邊角關(guān)系，求出∠BAC=60°、∠ABD=30°，得出BD⊥AC；再證明BD⊥平面PAC，即證平面PBD⊥平面PAC．

解答 證明：在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°；
又∵AD∥BC，∴∠BAD=90°；
在Rt△BAD，tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°；
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AC；
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD；
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC；
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得出BD⊥AC，是基礎(chǔ)題目．