Question

16．已知當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx取得最小值，等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），a₂=-7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T，且b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求T．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx取得最小值，可得$-\frac{2a}$=5，a＞0．由等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），a₂=-7．可得S_n=an²+bn，a₁+d=-7，分別取n=1，2，可得a₁=a+b，a₁-7=4a+2b，聯(lián)立解出即可．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx取得最小值，∴$-\frac{2a}$=5，a＞0．
∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），a₂=-7．
∴S_n=an²+bn，a₁+d=-7，
∴分別取n=1，2，可得a₁=a+b，a₁-7=4a+2b，
與a₁+d=-7，b=-10a聯(lián)立解得：
a=1，b=-10，a₁=-9，d=2．
∴a_n=-9+2（n-1）=2n-11．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$，
∴T=$-\frac{9}{2}$-$\frac{7}{{2}^{2}}$-$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}T$=-$\frac{9}{{2}^{2}}$-$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-13}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}T$=-$\frac{9}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{11}{2}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{7}{2}$-$\frac{2n-7}{{2}^{n+1}}$，
∴T=-7-$\frac{2n-7}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．