Question

5．在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，BC⊥SA，AS=AB，過(guò)A作AP⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E、G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)
求證：（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）AB⊥BC．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，從而EF∥平面ABC，同理：FG∥平面ABC，由此能證明平面EFG∥平面ABC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AF⊥BC，利用BC⊥SA，由此能證明BC⊥面SAB，即可證明AB⊥BC．

解答 證明：（1）∵AS=AB，AF⊥SB，∴F是SB的中點(diǎn)，
∵E、F分別是SA、SB的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，
又∵EF?平面ABC，AB⊆平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理：FG∥平面ABC，
又∵EF∩FG=F，EF、FG⊆平面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF?平面SAB，
∴AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC，
∵BC⊥SA，SA∩AF=A，SA、AF?平面SAB，
∴BC⊥面SAB，
∵AB?面SAB，
∴BC⊥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的證明，考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，注意空間思維能力的培養(yǎng)．