Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-8x+11）+f（x²-6y+10）≤0，則當y≥3時，函數(shù)F（x，y）=x²+y²的最小值與最大值的和為62．

Answer 1

分析 可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)，從而化簡可得（x-4）²+（y-3）²≤4，從而利用幾何意義求解．

解答 解：f（x）=x+sinx是奇函數(shù)，
且f′（x）=1+cosx≥0，
故f（x）在R上單調(diào)遞增；
∵f（y²-8x+11）+f（x²-6y+10）≤0，
∴f（y²-8x+11）≤-f（x²-6y+10），
即f（y²-8x+11）≤f（-x²+6y-10），
故y²-8x+11≤-x²+6y-10，
即（x-4）²+（y-3）²≤4，
F（x，y）=x²+y²的幾何意義是原點與點（x，y）的距離的平方，
作示意圖如圖，

結(jié)合圖象可知，|BC|=5+2=7，A（2，3），
故函數(shù)F（x，y）=x²+y²的最小值為2²+3²=13，
最大值為7²=49，故和為13+49=62，
故答案為：62．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用，函數(shù)與不等式的關(guān)系應用及線性規(guī)劃的變形應用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應用，屬于中檔題．