Question

5．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-6≥0}\\{x-y-2≤0}\\{y≤3}\\{\;}\end{array}\right.$，則變量z=x+y的取值范圍為[2，8]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)z=x+y的最小值和最大值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=x+y得y=-x+z，平移直線y=-x+z，
由圖象可知當直線y=-x+z經(jīng)過點A時，
直線y=-x+z的截距最小，此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-6=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），
代入目標函數(shù)z=x+y得z=2．
即目標函數(shù)z=x+y的最小值為2．
當直線y=-x+z經(jīng)過點B時，
直線y=-x+z的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（5，3），
代入目標函數(shù)z=x+y得z=5+3=8．
即目標函數(shù)z=x+y的最大值為8．
即z=x+y的取值范圍為[2，8]，
故答案為：[2，8]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．