Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問(wèn)，直接轉(zhuǎn)化為證明平面. （2）第（Ⅱ）問(wèn)，可以利用幾何法求，也可以利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>為正三角形，所以；

因?yàn)?/span>，所以.

又，，平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（Ⅱ）解法一：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連結(jié).

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直線與平面所成角為.

在中，，，，

由余弦定理得 ，所以.

所以，.又，

故 ，即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：如圖，以原點(diǎn)，以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

可求得，則，，，.

平面的一個(gè)法向量為，.

設(shè)直線與平面所成角為，則 .