Question

6．已知a，b，c，d≠0，c，d是x²+ax+b=0的解，a，b是x²+cx+d=0的解，求證：（a+b+c+d）²=abcd．

Answer 1

分析 直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系推出a=1，b=-2，c=1，d=-2，即可證明等式：（a+b+c+d）²=abcd．

解答 證明：記S=a+b+c+d，
∵c，d是方程x²+ax+b=0的解，
∴c+d=-a----①，cd=b----②；
又∵a，b是方程x²+cx+d=0的解，
∴a+b=-c----③，ab=d----④，
由等式①和③知：a+c+d=a+b+c=0，
于是S=b=d，
因此，等式②變?yōu)椋篶d=d，等式④變?yōu)椋篴b=b，
∵a，b，c，d為非零實數(shù)，∴a=c=1，
將a=c=1代回等式①，③得d=-2，b=-2，
即a=1，b=-2，c=1，d=-2，所以S=-2，
故（a+b+c+d）²=4，
且abcd=1×（-2）×1×（-2）=4，
因此，（a+b+c+d）²=abcd．

點評 本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，以及運用綜合法證明等式，屬于中檔題．