Question

12．在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且有（2c-a）cosB=bcosA．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC的面積為10$\sqrt{3}$，b=7，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)sinC不為0求出cosB的值，即可確定出B的值；
（2）利用余弦定理得到①及三角形的面積公式得到②，聯(lián)立①②化簡(jiǎn)可得b+c的值

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（2sinC-sinA）cosB-sinBsinA=0，
∴2sinCcosB-（sinAcosB+cosAsinB）=2sinCcosB-sin（A+B）=2sinCcosB-sinC=0，
∵sinC≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，則B=$\frac{π}{3}$；
（2）由b=7及∠B=$\frac{π}{3}$，
根據(jù)余弦定理得：b²=7²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$，①
根據(jù)面積公式得S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}ac•\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，②
聯(lián)立①②得到（a+c）²=169，
∴a+c=13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．