Question

18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AD、C₁D₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ） 分別作出四邊形BED₁F在平面ABCD、ABB₁A₁、BCC₁B₁內(nèi)的投影，并求出投影的面積；
投影一的面積為4；
投影二的面積為4；
投影三的面積為4；
（Ⅱ） 直線BF與ED₁相交嗎？答案：不；求直線BE與D₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用投影，根據(jù)正方形的面積公式，可得結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)異面直線的判定方法，可得直線BF與ED₁不相交；取BC的中點(diǎn)，則EG∥D₁F，可得∠BEG是直線BE與D₁F所成角．

解答 解：（Ⅰ）投影一的面積為2×2=4；投影二的面積為2×2=4；投影三的面積為2×2=4；
（Ⅱ） 直線BF與ED₁不相交，是異面直線；
取BC的中點(diǎn)，則EG∥D₁F，
∴∠BEG是直線BE與D₁F所成角，
∵BG=1，BE=$\sqrt{5}$，
∴直線BE與D₁F所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：4，4，4，不．

點(diǎn)評(píng) 本題考查投影面積的計(jì)算，考查直線BE與D₁F所成角的正弦值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．