Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2mx+2m+1．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（3m-1，2m+3）上是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為-7，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （I）求得函數(shù)的對(duì)稱軸方程，討論區(qū)間為增區(qū)間和減區(qū)間，即可得到所求范圍；
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值可能是頂點(diǎn)處或端點(diǎn)處的函數(shù)值．分別求得m的值，運(yùn)用單調(diào)性檢驗(yàn)即可得到所求值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=x²-2mx+2m+1的對(duì)稱軸為x=m，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（3m-1，2m+3）上是單調(diào)遞增，
即有m≤3m-1，且3m-1＜2m+3，
解得$\frac{1}{2}$≤m＜4；
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（3m-1，2m+3）上是單調(diào)遞減，
即有m≥2m+3，且3m-1＜2m+3，
解得m≤-3．
綜上可得m的取值范圍是（-∞，-3]∪[$\frac{1}{2}$，4）；
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值
可能是頂點(diǎn)處或端點(diǎn)處的函數(shù)值．
若f（-1）最小，且為-7，則1+2m++2m+1=-7，
解得m=-$\frac{9}{4}$＜-1，即有區(qū)間[-1，3]為增區(qū)間，成立；
若f（3）為最小值-7，即有9-6m+2m+1=-7，
解得m=$\frac{17}{4}$＞3，則區(qū)間[-1，3]為遞減區(qū)間，成立；
若f（m）為最小值-7，即有m²-2m²+2m+1=-7，
解得m=4或-2，不成立，舍去．
綜上可得m=-$\frac{9}{4}$或$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．