Question

已知數(shù)列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n≥3，n∈N^*）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N^*），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個是數(shù)列A中的項，現(xiàn)下列命題正確的是：

 

．（寫出所有正確答案的序號）
①數(shù)列A：0，1，3與數(shù)列B：0，2，4，6都具有性質(zhì)P；
②a₁=0；
③2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=na_n；
④當n=5時，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質(zhì)P，對任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，逐一驗證即可．

解答： 解：對于①因為1+3=4，3-1=2，都不是數(shù)列A中的項，故命題①錯誤；
對于②，考查該數(shù)列中的最大項a_n，顯然a_n+a_n=2a_n不是數(shù)列中的項，則必有a_n-a_n=0屬于該數(shù)列，故0∈A，且a₁=0，故②正確；
對于③若數(shù)列A具有該性質(zhì)P，設a_n是最大項，則具有性質(zhì)ai+an(1＜i≤n，i∈N*)，不在A中，則a_n-a_i是數(shù)列A中的項，則依題意：a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜a_n-a_n-2＜…＜a_n-a₂＜a_n-a₁，則由給的數(shù)列A的性質(zhì)可知；a_n-a_n=a₁，a_n-a_n-1=a₂，a_n-a_n-2=a₃，…a_n-a₂=a_n-1，a_n-a₁=a_n，將前面n個式子相加得：na_n-（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n，故na_n=2（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n），故③正確；
對于④，當n=5時，因為a₁=0，a₂-a₁=a₂，且

a5-a4=a2 a5-a3=a3 a5-a2=a4

⇒

a5=a4+a2 a5=2a3

⇒2a₃=a₄+a₂⇒2a₃=a₄+a₂，而a₄+a₃＞2a₃=a₅不是數(shù)列A中的項，則a₄-a₃是數(shù)列A中的項，
所以a₁＜a₄-a₃＜a₅-a₃=a₃，所以a₄-a₃=a₂，所以a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₅=a₅-a₄，故④成立．
故答案為：②③④

點評：本題屬于創(chuàng)新題，要準確理解A的性質(zhì)，抓住特殊項，結合性質(zhì)去推理，才能較好地解決此題．