Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{24}}$]上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值時自變量的取值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象得出最大值A(chǔ)，根據(jù)周期T求出ω，再根據(jù)函數(shù)圖象過點（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$）求出φ的值即可；
（2）求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{24}}$]時函數(shù)f（x）的取值范圍，即可得出f（x）的最值以及對應(yīng)x的取值．

解答 解：（1）由圖象可得，函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$，所以A=$\sqrt{2}$；
又$\frac{3T}{4}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{3π}{4}$，
∴T=π，
根據(jù)周期公式得，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）；
又函數(shù)圖象過點（$\frac{π}{12}$，$\sqrt{2}$），代入可得，
$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{24}}$]時，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，$\sqrt{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{24}}$]上的最大值是$\sqrt{2}$，最小值是0；
且當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$，
x=$\frac{π}{12}$時，f（x）取得最小值0．

點評 本題主要考查了由函數(shù)的部分圖象求解析式的應(yīng)用問題，通常是由函數(shù)的最值求A，根據(jù)周期公式求ω，根據(jù)函數(shù)的最值點求φ，也考查了三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．