Question

8．已知各項都不相等的等差數(shù)列{a_n}滿足a₄=10，且a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列．若${_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}$+2n，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2}{7}（{{8}^{n}}-1）+n（n+1）$．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)，（a₄-3d）•（a₄+2d）=（a₄-2d）²，求得d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的性質(zhì)，求得a_n和b_n的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：由{a_n}成等差數(shù)列且a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，
∴（a₄-3d）•（a₄+2d）=（a₄-2d）²，即（10-3d）•（10+2d）=（10-2d）²，
整理得：d²=3d，由d≠0，
解得：d=3，
∴a_n=a₄+3（n-4）×3=3n-2，
${_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}$+2n=2^3n-2+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=$\frac{2（1-{8}^{n}）}{1-8}$+2•$\frac{n（1+n）}{2}$，
=$\frac{2}{7}$（8ⁿ-1）+n（n+1），
故答案為：$\frac{2}{7}（{{8}^{n}}-1）+n（n+1）$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式，求和公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．