Question

5．將一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求證：平面BAD⊥平面CAD；
（2）求BD與平面CAD所成的角的正切值；
（3）若CD=2，求C到平面BAD的距離．

Answer 1

分析 （1）要證明平面BAD⊥平面CAD，只需要證明BA⊥平面CAD，根據(jù)面面垂直，得到線面垂直，從而得證．
（2）根據(jù)BA⊥平面CAD，可得∠ADB為BD與平面CAD所成的角，設(shè)值進行計算即可．
（3）平面BAD⊥平面CAD；過C點作AD的垂線CH，即CH⊥平面BAD，則CH的長度為所求值．

解答 解：（1）∵平面BAD⊥平面CAD，CD⊥BC，CD?平面BCD
∴CD⊥平面CAB，
∵AB?平面CAB，∴CD⊥AB，
又CA⊥AB，CA∩CD=C，
∴BA⊥平面CAD
∴BA?平面CAD
所以：平面BAD⊥平面CAD；
得證
（2）由（1）可知，BA⊥平面CAD
∴∠ADB為BD與平面CAD所成的角．
設(shè)BC=1，則AB=$\sqrt{2}$，BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
cos∠ADB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
tan∠ADB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$
BD與平面CAD所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（3）由（1）可知：平面BAD⊥平面CAD；
∴過C點作AD的垂線CH，垂足為H，則CH⊥平面BAD，
故：CH的長度為C到平面BAD的距離．
∵CD=2，
∴BC=$2\sqrt{6}AC=\sqrt{6}$
∴CH=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{4+6}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了以面面垂直為依托，考查面面垂直的性質(zhì)和判定，考查了線面角問題以及點到平面的距離問題．屬于中檔題．