Question

已知數(shù)列

8

12•32

，

16

32•52

，

24

52•72

，…，

8•n

(2n-1)2•(2n+1)2

，…，S_n為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，
（1）計(jì)算得S₁，S₂，S₃，S₄，并歸納出S_n（n∈N^*）；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和,歸納推理

專題：推理和證明

分析：（1）由已知中a1=

8

12•32

，a2=

16

32•52

，a1=

24

52•72

，a4=

32

72•92

，可得：S₁=

8

9

，S₂=

24

25

，S₃=

48

49

，S₄=

80

81

，并猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

（2）利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）∵a1=

8

12•32

，a2=

16

32•52

，a1=

24

52•72

，a4=

32

72•92

，
∴S₁=

8

9

，S₂=

24

25

，S₃=

48

49

，S₄=

80

81

，
由此歸納猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

，
證明：（2）當(dāng)n=1時(shí)，左=S₁=

8

9

，右=

(3)2-1

(3)2

=

8

9

，
猜想成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即S_k=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

（k∈N*）．
那么 S_k+1=S_k+a_k+1=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8•(k+1)

[2(k+1)-1]2•[2(k+1)+1]2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8•(k+1)

(2k+1)2•(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2•(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

．
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，猜想對(duì)?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證．