Question

15．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+6≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$．
（1）求此不等式組表示的平面區(qū)域的面積；
（2）求z₁=2x-3y的最大值；
（3）求${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 作出可行域，求出角點(diǎn)坐標(biāo)，（1）直接求解三角形的面積．
（2）利用的幾何意義，求解最大值；
（3）利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：可行域內(nèi)的點(diǎn)與（-1，-3）連線的斜率，求解最值即可．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+6≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$平面區(qū)域如圖．
交點(diǎn)A（-3，3）、B（3、9）、C（3，-3），
（1）S_△ABC=$\frac{1}{2}$[9-（-3）]×[3-（-3）]=36．
（2）z₁=2x-3y化為：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$z₁，平移直線，可知直線經(jīng)過C時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：z₁=2x-3y=2×3+3×3=15．
（3）目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q（-1，-3）連線的斜率，如圖，斜率${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$≤k_AQ=$\frac{3+3}{-3+1}$=-3，或${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$≥k_QC=$\frac{-3+3}{3+1}$=0，
故${z_2}=\frac{y+3}{x+1}$∈（-∞，-3]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，畫出可行域以及判斷的幾何意義是解題的關(guān)鍵．