Question

2．在△ABC中，已知AB=2，$cosB=\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）若BC=3，求AC的長；
（Ⅱ）若點D為AC中點，且$BD=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosB的值，以及BC與AB的長，利用余弦定理求出AC的長即可；
（Ⅱ）法1：利用余弦定理列出關系式，聯(lián)立求出a與b的值，再利用正弦定理即可確定出sinA的值；法2：由題意得到$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），兩邊平方后求出a的值，進而求出b的值，再由sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB=$\frac{1}{3}$，AB=2，BC=3，
∴由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=4+9-4=9，
則AC=3；
（Ⅱ）法1：在△ABC中，設BC=a，AC=b，
∵AB=c=2，cosB=$\frac{1}{3}$，
由余弦定理得：b²=a²+4-$\frac{4}{3}$a①，
在△ABD和△BCD中，由余弦定理得：cos∠ADB=$\frac{\frac{^{2}}{4}+\frac{17}{4}-4}{2•\frac{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$，cos∠BDC=$\frac{\frac{^{2}}{4}+\frac{17}{4}-{a}^{2}}{2•\frac{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$，
∵cos∠ADB=-cos∠BDC，∴$\frac{\frac{^{2}}{4}+\frac{17}{4}-4}{2•\frac{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$=-$\frac{\frac{^{2}}{4}+\frac{17}{4}-{a}^{2}}{2•\frac{2}•\frac{\sqrt{17}}{2}}$，即b²=2a²-9②，
聯(lián)立①②，解得：a=3，b=3，
∵cosB=$\frac{1}{3}$，B為三角形內角，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
法2：根據(jù)題意得：$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
兩邊平方得：$\frac{1}{4}$（c²+a²+2ac•cosB）=$\frac{17}{4}$，
把c=2代入得：1+$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{3}$a=$\frac{17}{4}$，即3a²+4a-39=0，
分解得：（3a+13）（a-3）=0，
解得：a=-$\frac{13}{3}$（舍去）或a=3，
∵AB=c=2，cosB=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由余弦定理得：b²=a²+4-$\frac{4}{3}$a，
把a=3代入得：b=3，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．