Question

10．已知四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（I）求證：AB₁⊥面PBC；
（Ⅱ）在BC邊上找一點(diǎn)Q，使PQ∥面A₁ABB₁，并求二面角B₁-PQ-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AA₁⊥BC，AB⊥BC，從而AB₁⊥BC，取AA₁中點(diǎn)M，連結(jié)BM，PM，得PMBC四點(diǎn)共面，由△ABM≌△A₁B₁A，得AB₁⊥BM，由此能證明AB₁⊥面PBC．
（Ⅱ）在BC上取點(diǎn)Q，使BQ=PM=3，則BQ$\underset{∥}{=}$PM，在BC邊上找一點(diǎn)Q，BQ=3時(shí)，使PQ∥面A₁ABB₁．以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出二面角B₁-PQ-D的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AA₁⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴AA₁⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
∴BC⊥面AA₁BB₁，
∵AB₁?面AA₁BB₁，∴AB₁⊥BC，
取AA₁中點(diǎn)M，連結(jié)BM，PM，
∵P，M分別為D₁D，A₁A的中點(diǎn)，
∴PM∥AD，PM∥BC，
∴PMBC四點(diǎn)共面，
∵AB=AA₁，∠BAM=∠AA₁B₁=90°，AM=AA₁，
∴△ABM≌△A₁B₁A，∴AB₁⊥BM，
∵BM∩BC=B，∴AB₁⊥面PBC．
解：（Ⅱ）在BC上取點(diǎn)Q，使BQ=PM=$\frac{1}{2}（2+4）=3$，則BQ$\underset{∥}{=}$PM，
∴四邊形BQPM是平行四邊形，∴PQ∥BM，
∵PQ?平面A₁ABB₁，BM?平面A₁ABB₁，
∴PQ∥面A₁ABB₁．
∴在BC邊上找一點(diǎn)Q，BQ=3時(shí)，使PQ∥面A₁ABB₁．
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B₁（2，0，4），P（0，3，2），Q（4，3，0），D（0，4，0），
$\overrightarrow{PQ}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（2，-3，2），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-2），
設(shè)平面PQB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=4x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{B}_{1}}=2x-3y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，6，6），
設(shè)平面PQD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{4a-2c=0}\\{b-2c=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，12，6），
設(shè)二面角B₁-PQ-D的平面角為θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|9+72+36|}{\sqrt{9+36+36}•\sqrt{3+144+36}}$=$\frac{13\sqrt{183}}{183}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．