Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的焦點與雙曲線$\frac{x^2}{6}-{y^2}$=1的焦點重合，且與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，若|AB|=5
（1）求橢圓的方程；
（2）已知F₁為橢圓的左焦點，求△ABF₁的面積．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的焦點坐標，再由橢圓的a，b的關系，可得a=4，b=3，即可得到橢圓方程；
（2）由直角三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{x^2}{6}-{y^2}$=1的焦點為（±$\sqrt{7}$，0），
則橢圓的c=$\sqrt{7}$，
即有a²-b²=7，
由題意可得a²+b²=25，
解得a=4，b=3，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）△ABF₁的面積為S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|OB|
=$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{7}$）×3
=$\frac{12+3\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，同時雙曲線的方程和性質，注意橢圓和雙曲線的a，b，c的區(qū)別，屬于基礎題和易錯題．