Question

18．已知某人投籃投中的概率為$\frac{1}{3}$，該人四次投籃實(shí)驗(yàn)，且每次投籃相互獨(dú)立，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)投中次數(shù)與沒有投中次數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（2）記“函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）．

Answer 1

分析 （1）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，2，4，求出相應(yīng)的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可求出ξ的取值，從而求出事件A發(fā)生的概率．

解答 解：（1）由題意，ξ的取值為0，2，4．
P（ξ=0）=C₄²（$\frac{1}{3}$）²（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{24}{81}$，P（ξ=2）=C₄³（$\frac{1}{3}$）³（1-$\frac{1}{3}$）+C₄¹（$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=C₄⁴（$\frac{1}{3}$）⁴+C₄⁰（1-$\frac{1}{3}$）⁴=$\frac{17}{81}$，
∴Eξ=0×$\frac{24}{81}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$；
（2）由題意，f（2）f（3）=（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，∴$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$，
∴P（A）=P（$\frac{3}{2}$＜ξ＜$\frac{8}{3}$）=P（ξ=2）=$\frac{40}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．