Question

12．設(shè)（1-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，n∈N^*，n≥2．
（1）設(shè)n=11，求|a₆|+|a₇|+|a₈|+|a₉|+|a₁₀|+|a₁₁|的值；
（2）設(shè)b_k=$\frac{k+1}{n-k}$a_k+1（k∈N，k≤n-1），S_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m（m∈N，m≤n-1），求|$\frac{{S}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|的值．

Answer 1

分析 （1）由二項(xiàng)式定理可得a_k=（-1）^k•${C}_{n}^{k}$，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所求和為2¹⁰；
（2）由組合數(shù)的階乘公式可得b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$，再由組合數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)1≤k≤n-1時(shí)，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}$+${C}_{n-1}^{k-1}$）=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，討論m=0和1≤m≤n-1時(shí)，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得到所求值．

解答 解：（1）由二項(xiàng)式定理可得a_k=（-1）^k•${C}_{n}^{k}$，
當(dāng)n=11時(shí)，|a₆|+|a₇|+|a₈|+|a₉|+|a₁₀|+|a₁₁|=${C}_{11}^{6}$+${C}_{11}^{7}$+…+${C}_{11}^{11}$
=$\frac{1}{2}$（${C}_{11}^{0}$+${C}_{11}^{1}$+…+${C}_{11}^{10}$+${C}_{11}^{11}$）=2¹⁰=1024；
（2）b_k=$\frac{k+1}{n-k}$a_k+1=（-1）^k+1•$\frac{k+1}{n-k}$${C}_{n}^{k+1}$=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$，
當(dāng)1≤k≤n-1時(shí)，b_k=（-1）^k+1•${C}_{n}^{k}$=（-1）^k+1•（${C}_{n-1}^{k}$+${C}_{n-1}^{k-1}$）
=（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k}$+（-1）^k+1•${C}_{n-1}^{k-1}$=（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$，
當(dāng)m=0時(shí)，|$\frac{{S}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=|$\frac{_{0}}{{C}_{n-1}^{0}}$|=1；
當(dāng)1≤m≤n-1時(shí)，S_m=b₀+b₁+b₂+…+b_m=-1+$\sum_{k=1}^{m}$[（-1）^k-1•${C}_{n-1}^{k-1}$-（-1）^k•${C}_{n-1}^{k}$]
=-1+1-（-1）^m${C}_{n-1}^{m}$=-（-1）^m${C}_{n-1}^{m}$，
即有|$\frac{{S}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=1．
綜上可得，|$\frac{{S}_{m}}{{C}_{n-1}^{m}}$|=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理和性質(zhì)的運(yùn)用，考查組合數(shù)公式和性質(zhì)的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．