Question

15．已知△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中點，沿直線CM將CBM折起，若AB=$\sqrt{10}$，設(shè)二面角B-CM-A的平面角為α，則α的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 考查圖形，作出平面圖形，然后找出二面角的平面角，通過三角形的解法求解二面角的平面角．

解答 解：△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中點，三角形ACM是正三角形，取CM的中點為：O．連結(jié)AO并延長角CB于D，
可知AO⊥CM，OD⊥CM，
則AC=AM=CM=MB=2，CO=OM=1，CB=$2\sqrt{3}$．
AO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$，
沿直線CM將CBM折起，若AB=$\sqrt{10}$，在折疊后的圖形中，cos∠ACB=$\frac{{AC}^{2}+{CB}^{2}-{AB}^{2}}{2AC•CB}$=$\frac{4+12-10}{2×2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{CD}^{2}-2AC•CDcos∠ACB}$=$\sqrt{4+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
AD²=AO²+OD²，
∵AO⊥CM，OD⊥CM，
∴∠AOD就是二面角B-CM-A的平面角，可知α=90°．
故選：D．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．