Question

10．若函數(shù)f（x）=x²+（a-4）x+4-2a，g（x）=2x+1對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），a的取值范圍？

Answer 1

分析 根據(jù)g（x）的單調(diào)性求出函數(shù)g（x）的最大值，由題意對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為a＜（2-x）-$\frac{3}{2-x}$，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵g（x）=2x+1在（0，1）單調(diào)遞增，
∴g（x）＜g（1）=2+1=3，
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），
∴x²+（a-4）x+4-2a＞3在（0，1）恒成立，
即a（2-x）＜x²-4x+1=（x-2）²-3，
∴a＜（2-x）-$\frac{3}{2-x}$
設(shè)h（x）=（2-x）-$\frac{3}{2-x}$，
則h′（x）=-1-$\frac{3}{（2-x）^{2}}$＜0恒成立，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（1）=2-1-3=-2，
∴a＜-2，
故a的取值范圍為（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，以及參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．