【題目】如圖所示,已知橢圓 過點,離心率為,左、右焦點分別為、,點為直線上且不在軸上的任意一點,直線和與橢圓的交點分別為、和、,為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線、的斜線分別為、.
(i)證明:;
(ii)問直線上是否存在點,使得直線、、、的斜率、、、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1) ;(2)(i)見解析;(ii)
【解析】
(1)利用橢圓過已知點和離心率,聯(lián)立方程求得a和b,則橢圓的方程可得;
(2)(i)把直線PF1、PF2的方程聯(lián)立求得交點的坐標,代入直線x+y=2上,整理得;
(ii)設出A,B,C,D的坐標,聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程根據(jù)韋達定理表示出xA+xB和xAxB,進而可求得直線OA,OB斜率的和與CO,OD斜率的和,由kOA+kOB+kOC+kOD=0推斷出k1+k2=0或k1k2=1,分別討論求得p.
(1)∵橢圓過點,,∴,故所求橢圓方程為;
(2)(i)由于F1(﹣1,0)、F2(1,0),PF1,PF2的斜率分別是k1,k2,且點P不在x軸上,
所以k1≠k2,k1≠0,k2≠0.又直線PF1、PF2的方程分別為y=k1(x+1),y=k2(x﹣1),
聯(lián)立方程解得,所以,由于點P在直線x+y=2上,
所以,故
(ii)設A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程得,化簡得(2k12+1)x2+4k12x+2k12﹣2=0,
因此,所以,
同理可得:,故由kOA+kOB+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1,
當k1+k2=0時,由(1)的結論可得k2=﹣2,解得P點的坐標為(0,2)
當k1k2=1時,由(1)的結論可得k2=3或k2=﹣1(舍去),
此時直線CD的方程為y=3(x﹣1)與x+y=2聯(lián)立得x=,,所以,
綜上所述,滿足條件的點P的坐標分別為,P(0,2).
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【題目】已知函數(shù)(),曲線在點處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值,并求的單調區(qū)間;
(2)試比較與的大小,并說明理由;
(3)求證:
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【題目】已知橢圓: 的左、右焦點分別為和,離心率是,直線過點交橢圓于, 兩點,當直線過點時, 的周長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)當直線繞點運動時,試求的取值范圍.
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【題目】一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元世紀)的數(shù)學著作《孫子算經》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”問題,原文如下:有物不知數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,問物幾何?即,一個整數(shù)除以三余二,除以五余三,求這個整數(shù).設這個整數(shù)為,當時, 符合條件的共有_____個.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,設點,直線:,點在直線上移動,是線段與軸的交點,過、分別作直線、,使,,.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知⊙:,過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點,若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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【題目】設,已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅲ)若, 求使方程有唯一解的的值.
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【題目】設。,,,是中的數(shù)所成的數(shù)列,它包含的不以1結尾的任何排列,即對于的四個數(shù)的任意一個不以1結尾的排列,,都有,,,,使得,并且,求這種數(shù)列的項數(shù)的最小值。
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【題目】下列說法:
①函數(shù)的單調增區(qū)間是;
②若函數(shù)定義域為且滿足,則它的圖象關于軸對稱;
③函數(shù)的值域為;
④函數(shù)的圖象和直線的公共點個數(shù)是,則的值可能是;
⑤若函數(shù)在上有零點,則實數(shù)的取值范圍是.
其中正確的序號是_________.
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