Question

10．在數列{a_n}中，已知a₁=1，前n項和S_n滿足${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），則S_n=$\frac{1}{3-2n}$．

Answer 1

分析 由${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），可得 ${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），變形為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，再利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
化為：2S_nS_n-1-S_n+S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，首項為1，公差為-2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n．
∴S_n=$\frac{1}{3-2n}$．
故答案為：$\frac{1}{3-2n}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．