Question

已知函數f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為實數，常數e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）當a取正實數時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當a=-4時，直接寫出函數f（x）的所有減區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）通過x=

1

3

，利用函數f（x）的一個極值點，列出關系式即可求a的值；
（2）當a取正實數時，利用導數以及導函數為0，判斷函數的符號，即可求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當a=-4時，結合（2）即可直接寫出函數f（x）的所有減區(qū)間．

解答： （本小題滿分12分）
（1）解：f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（2分）
因為x=

1

3

是函數f（x）的一個極值點，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而當a=

9

5

時，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可驗證：x=

1

3

是函數f（x）的一個極值點．因此a=

9

5

．（4分）
（2）當a取正實數時，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
當a＞1時，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
所以當x變化時，f'（x）、f（x）的變化是

x	(-∞， a- a2-a a )	a- a2-a a	( a- a2-a a ， a+ a2-a a )	a+ a2-a a	( a+ a2-a a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的單調遞增區(qū)間為(-∞，

a- a2-a

a

)，(

a+ a2-a

a

，+∞)，
單調減區(qū)間為(

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

)；
當0＜a≤1時，f'（x）≥0恒成立，故f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，+∞）．（9分）
（3）當a=-4時，f（x）的單調減區(qū)間是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)．

點評：本小題主要考查函數與導數的知識，具體涉及到導數的運算，用導數來研究函數的單調性、極值等，以及函數與不等式知識的綜合應用，考查學生解決問題的綜合能力．