Question

已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對（a，b），使得對f（x），f（a+x），f（a-x）有定義的所有x都有f（a+x）+f（a-x）=b恒成立，則稱f（x）為“п-函數(shù)”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f₁（x）=2sinx，f₂（x）=lnx是否是“п-函數(shù)”；
（Ⅱ）若f₃（x）=tanx是一個(gè)“п-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b）（參考公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

）；
（Ⅲ）若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是“п-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（0，1）和（1，2）．當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇1，2]，求當(dāng)x∈[-2012，2012]時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）假設(shè)是函數(shù)為“п-函數(shù)”，列出方程對任意的x恒成立，通過判斷方程的解的個(gè)數(shù)判斷出f₂（x）=lnx不是，對于f₁（x）=2sinx列出方程恒成立．
（2）據(jù)題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等，求出a，b．
（3）利用題中的新定義，列出兩個(gè)等式恒成立；將x用1+x代替，兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系；用不完全歸納的方法求出值域．

解答： 解：：（1）若f₁（x）=）=2sinx，是“π-函數(shù)”，則存在常數(shù)（2kπ，0），使得sin（2kπ+x）+sin（2kπ-x）=sinx+sin（-x）=0，對任意的x恒成立，f₂（x）=lnx不是“π-函數(shù)”，由于ln（a+x）+ln（a-x）=b解得 x²=a²-e^b對任意的x恒成立，而x²=a²-e^b至多有兩解最多有兩個(gè)解相矛盾，因此f₁（x）=）=2sinx，是“π-函數(shù)”，f₂（x）=lnx不是“π-函數(shù)”．
（2）若f₃（x）=tanx是一個(gè)“п-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b）使tan（a+x）+tan（a-x）=b恒成立．即

tana+tanx

1-tanatanx

+

tana-tanx

1+tanatanx

=b
整理得：2tana+2tan²xtana=b（1-tan²atan²x）
利用系數(shù)對應(yīng)相等得到：

2tana=b 2tana=btan2a

解得：b=±2  tana=±1   則a=kπ±

π

4

（k∈z）
則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對為：（kπ+

π

4

，2）（kπ+

π

4

，-2）（kπ-

π

4

，2）（kπ-

π

4

，-2）（k∈z）
（3）函數(shù)f（x）是“п-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（0，1）和（1，2）．于是f（x）+f（-x）=1，f（1+x）+f（1-x）=2，
即f（1+x）+f（1-x）=2?f（x）+f（2-x）=2，x∈[0，1]時(shí)，2-x∈[1，2]，
x∈∈[2，4]時(shí)，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]時(shí)，f（x）∈[16，26]，
依此類推可知 x∈[2k，2k+2]時(shí)，f（x）∈[22k，22k+2]，
x∈[2010，2012]時(shí)，f（x）∈[22010，22012]．
因此x∈[0，2012]時(shí)，f（x）∈[1，2²⁰¹²]
綜上可知當(dāng)x∈[-2012，2012]時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2^-2012，2²⁰¹²]

點(diǎn)評：本題（1）列出方程對任意的x恒成立，通過判斷方程的解的個(gè)數(shù)判斷出f₂（x）=lnx不是，對于f₁（x）=2sinx列出方程恒成立．
（2）據(jù)題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等，求出a，b．
（3）利用題中的新定義，列出兩個(gè)等式恒成立；將x用2+x代替，兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系；用不完全歸納的方法求出值域．