Question

已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）假設(shè)SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證平面EBD⊥平面SAC，只需證BD⊥面SAC，利用線面垂直的判定定理可證得；
（2）過A作AF⊥SO交SO于點F，則AF⊥面SBD，所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離，利用等面積法求出線段AF的長即可；

解答： 證明：（1）∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，SA，AC?面SAC，
∴BD⊥面SAC，
又∵BD?面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC；
解：（2）由（1）知，BD⊥面SAC，又∵BD?面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，
設(shè)AC∩BD=O，則平面SBD∩平面SAC=SO，
過A作AF⊥SO交SO于點F，
則AF⊥面SBD，
所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離．
∵ABCD是正方形，AB=2，
∴AO=

2

，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，
∴SO=3

2

，
∵SO×AF=SA×AO，
∴AF=

4

3

，
∴點A到平面SBD的距離為

4

3

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．