Question

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，則對(duì)任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的（ ）
A.充分不必要條件
B.充要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由f（x）=f（2﹣x），得函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱，
由f'（x）（x﹣1）＞0得，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
若x1＜x2 ， 當(dāng)x2≤1，函數(shù)為減函數(shù)，滿足對(duì)任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2），
此時(shí)x1+x2＜2，
若x2＞1，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，則f（x2）=f（2﹣x2），
則2﹣x2＜1，
則由f（x1）＞f（x2）得f（x1）＞f（x2）=f（2﹣x2），
此時(shí)函數(shù)在x＜1時(shí)為減函數(shù)，
則x1＜2﹣x2 ， 即x1+x2＜2，
即對(duì)任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）得x1+x2＜2，
反之也成立，
即對(duì)任意的x1＜x2 ， f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的充要條件，
故選：B