Question

17．己知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且它的一個(gè)焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（0，1）
（Ⅰ）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，N是橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，試求△NAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦距即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線為l，分兩類，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則l的方程為y=kx+1，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，得到S_△²=6（1-$\frac{1}{m}$）²（1-$\frac{1}{{m}^{2}}$），構(gòu)造函數(shù)f（t）=6（1-t）²（1-t²），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則c=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可解得a=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線為l，
①若l的斜率不存在，則A（0，$-\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），即|AB|=2$\sqrt{3}$，
顯然當(dāng)N在短軸頂點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）時(shí)，△NAB的面積最大，
此時(shí)，△NAB的最大面積為$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
②若l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則l的方程為y=kx+1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（2k²+3）x²+4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{2{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{4}{2{k}^{2}+3}$，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+3}$，
∵當(dāng)直線與l平行且與橢圓相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)N到直線l的距離最大，
設(shè)切線l′：y=kx+m，（m≤-$\sqrt{2}$），
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（2k²+3）y²+4kmy+2m²-6=0，
由△=（4km）²-4（2k²+3）（2m²-6）=0，
解得m²=2k²+3，（m＜-$\sqrt{3}$），
又點(diǎn)N到直線l的距離d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{|m-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+3}$，
∴S_△²=$\frac{12（m-1）^{2}（{k}^{2}+1）}{（2{k}^{2}+3）^{2}}$=6（1-$\frac{1}{m}$）²（1-$\frac{1}{{m}^{2}}$），
令t=$\frac{1}{m}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
設(shè)f（t）=6（1-t）²（1-t²），
∴f′（t）=12（1-t）²（2t+1），
∵當(dāng)t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（t）＞0，當(dāng)t∈（-$\frac{1}{2}$，0）時(shí)，f′（t）＜0，
∴f（t）在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，0）為減函數(shù)，
∴f（t）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{81}{8}$，
故k²=$\frac{1}{2}$時(shí)，△NAB的最大面積為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
顯然$\sqrt{6}$＜$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴當(dāng)l的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1，△NAB的面積最大，最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于難題．