Question

15．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABS⊥平面CBS，側(cè)面SBC是正三角形，AB=AS，點(diǎn)E是SB的中點(diǎn)．
（1）證明：SD∥平面ACE；
（2）證明：BS⊥AC；
（3）若AB⊥AS，BC=2，求三棱錐S-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，交AC于F，連結(jié)EF．由中位線定理可得EF∥SD，故SD∥平面ACE；
（2）由三線合一可得BS⊥AE，BS⊥CE，于是BS⊥平面AEC，故BS⊥AC；
（3）由平面ABS⊥平面CBS可得AE⊥平面BCS，于是V_S-BCD=V_D-BCS=V_A-BCS=$\frac{1}{3}{S}_{△BCS}•AE$．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，交AC于F，連結(jié)EF．
∵底面ABCD是平行四邊形，
∴F是BD的中點(diǎn)，又E是BS的中點(diǎn)，
∴EF∥SD，
又SD?平面AEC，EF?平面AEC
∴SD∥平面AEC．
（2）∵AB=AS，BC=CS，E是BS的中點(diǎn)，
∴AE⊥BS，CE⊥BS，又AE?平面AEC，CE?平面AEC，AE∩CE=E，
∴BS⊥平面AEC，∵AC?平面AEC，
∴BS⊥BC．
（3）∵平面ABS⊥平面CBS，平面ABS∩平面CBS=BS，AE⊥BS，
∴AE⊥平面BSC．
∵AB⊥AS，BS=BC=CS=2，
∴AE=$\frac{1}{2}BS$=1，S_△BCS=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_S-BCD=V_D-BCS=V_A-BCS=$\frac{1}{3}{S}_{△BCS}•AE$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．