5.某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠(如圖),為降低成本,必須盡量減少水與水渠壁的接觸面,若水渠的橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值m,渠深3米,則水渠側(cè)壁的傾斜角α應(yīng)為多少時(shí),方能使修建成本最低?

分析 作BE⊥DC于E,令y=AD+DC+BC,由已知可得y=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$(0°<α<90°),利用換元法令u=$\frac{2-cosα}{sinα}$,求出u取最小值時(shí)α的大小,可得結(jié)論.

解答 解:作BE⊥DC于E,如圖1,
在Rt△BEC中,BC=$\frac{3}{sinα}$,CE=3cotα,
又AB-CD=2CE=6cotα,
S=$\frac{(AB+CD)×3}{2}$=m,即
AB+CD=$\frac{2}{3}$m,
故AB=$\frac{m}{3}$+3cotα,CD=$\frac{m}{3}$-3cotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,
則y=$\frac{3}{sinα}$+$\frac{3}{sinα}$+$\frac{m}{3}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-3cotα=$\frac{m}{3}$+$\frac{6}{sinα}$-$\frac{3cosα}{sinα}$=$\frac{m}{3}$+$\frac{6-3cosα}{sinα}$,(0°<α<90°),
由于m是常量,欲使y最小,只需$\frac{6-3cosα}{sinα}$=3×$\frac{2-cosα}{sinα}$取最小值,
設(shè)u=$\frac{2-cosα}{sinα}$,u可看作(0,2)與(-sinα,cosα)兩點(diǎn)連線的斜率,
由于α∈(0°,90°),
點(diǎn)(-sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上運(yùn)動(dòng),如圖2,

當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時(shí),直線斜率最小,此時(shí)切點(diǎn)為(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$),
則有sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,且cosα=$\frac{1}{2}$,那么α=60°,
故當(dāng)α=60°時(shí),修建成本最低.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題,考查三角函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)條件其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,是解答的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面ABS⊥平面CBS,側(cè)面SBC是正三角形,AB=AS,點(diǎn)E是SB的中點(diǎn).
(1)證明:SD∥平面ACE;
(2)證明:BS⊥AC;
(3)若AB⊥AS,BC=2,求三棱錐S-BCD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.我國(guó)的郵政編碼由六位數(shù)字組成,最后兩位數(shù)字是一個(gè)郵政局的投遞區(qū)編號(hào),代表一個(gè)鎮(zhèn)或者一個(gè)居住的小區(qū),那么,一個(gè)投遞區(qū)最多有多少個(gè)編號(hào)呢?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

13.已知3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow$+5$\overrightarrow{c}$=0,且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1,則$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$)=( 。
A.0B.-$\frac{3}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.-$\frac{4}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.解下列指數(shù)方程.
(1)($\frac{1}{32}$)x=81-x;
(2)9x=42x+1;
(3)9x+6x=22x+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.求值:cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)sin(x-40°).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知定義在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$,π]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱,當(dāng)x≥$\frac{π}{4}$時(shí),f(x)=sinx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有解,記所有解的和為S,則S不可能為(  )
A.$\frac{3}{4}$πB.$\frac{π}{2}$C.πD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.解方程:$\sqrt{x}$+$\sqrt{x+5}$+2$\sqrt{{x}^{2}+5x}$=25-2x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

19.已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是AB,PC的中點(diǎn),設(shè)AC中點(diǎn)為O,若∠PDA=45°,則EF與平面ABCD所成的角的大小為45°.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案