Question

20．已知（x+1）²（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ的展開式中沒有x²項(xiàng)，n∈N^*，且5≤n≤8，則n=7．

Answer 1

分析 先將問題轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為2時(shí)方程無解，檢驗(yàn)求得n的值．

解答 解：∵（x+1）²（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ=（1+2x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展開式中沒有x²項(xiàng)，
∴（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含x項(xiàng)，不含x²項(xiàng)．
∵（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展開式中展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C_n^r x^n-r x^-3r=C_n^rx^n-4r，r=0，1，2，3…n，
方程n-4r=0，n-4r=1，n-4r=2，當(dāng)n∈N^*，5≤n≤8時(shí)，無解，檢驗(yàn)可得n=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力和利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，屬于中檔題．