Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²，下列命題：
①對于任意a∈（0，+∞），都有f（x）＞0恒成立；
②對于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）都存在最小值；
③存在a∈（-∞，0），使函數(shù)f（x）有三個零點；
④存在a∈（-∞，0），使函數(shù)f（x）有減區(qū)間．
其中正確命題的序號是①②④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析四個結(jié)論的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：對于任意a∈（0，+∞），y=ax²≥0恒成立，
又由y=e^x＞0恒成立，
故此時f（x）=e^x+ax²＞0恒成立，故①正確；
∵f′（x）=e^x+2ax=0，則方程有唯一的實根b，
當(dāng)x＜b時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞b時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=b時，f（x）取得最小值，故②，④正確；
此時函數(shù)至多有兩個零點，故③錯誤；
故正確命題的序號是：①②④，
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．