Question

6．已知△ABC中，AC=2，BC=1，∠ACB=$\frac{2π}{3}$，D為AB上的點，若AD=2DB，則cos∠CDB=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 由余弦定理得AB=$\sqrt{7}$，從而得到BD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，∠BCD=60°，再由正弦定理得sin∠CDB=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，由此能求出cos∠CDB的值．

解答 解：∵△ABC中，AC=2，BC=1，∠ACB=$\frac{2π}{3}$，
∴AB²=BC²+AC²-2•BC•AC•cos∠ACB=1+4-2×$1×2×（-\frac{1}{2}）$=7，∴AB=$\sqrt{7}$，
∵D為AB上的點，AD=2DB，
∴BD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∵AC：BC=AD：BD=2：1，∴CD平分∠ACB，
∴∠BCD=60°，
根據正弦定理得$\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{sin60°}$=$\frac{1}{sin∠CDB}$，解得sin∠CDB=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴cos∠CDB=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{21}}{14}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運用．