Question

14．已知Rt△ABC，∠C=90°，設(shè)AC=m，BC=n
（1）若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度（用m，n表示）

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由引能證明CD=$\frac{1}{2}$AB．
（2）由已知得E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），直線AE：y=-$\frac{3m}{n}$x+m，由此求出F（$\frac{n}{3}$，0），利用兩點(diǎn)間距離公式能求出AF的長．

解答 證明：（1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），A（0，m），B（n，0），∴D（$\frac{n}{2}$，$\frac{m}{2}$），
∴AB²=m²+n²，CD²=$\frac{{n}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{A{B}^{2}}{4}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
解：（2）∵E為CD的中點(diǎn)，∴E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），
∴直線AE：$\frac{y-m}{x}=\frac{\frac{m}{4}-m}{\frac{n}{4}}$，整理，得y=-$\frac{3m}{n}$x+m，
∵連接AE并延長交BC于F，∴F（$\frac{n}{3}$，0）
∴AF=$\sqrt{（\frac{n}{3}）^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{m}^{2}+{n}^{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直角三角形中斜邊上中線等于斜邊長一半的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．