Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），過F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若△ABF₂為正三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足0＜e＜

5 -1

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證OA²+OB²＜AB²．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c=2，由△ABF₂是正三角形，得a=2

3

，根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合0＜e＜

5 -1

2

，c=1，可得a＞

5 +1

2

，分當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，和當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，兩種情況分別討論

OA

•

OB

的符號(hào)，進(jìn)而分析∠AOB的大小，可判斷OA²+OB²＜AB²是否成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，
若△ABF₂為正三角形，則2a=2

3

，
即a=

3

，
故a²=3，b²=2，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

3

+

y2

2

=1
（II）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵0＜e＜

5 -1

2

，c=1，
∴a＞

5 +1

2

，
①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，

1

a2

+

y2

b2

=1，y2=

b4

a2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-

b4

a2

=

-a4+3a2-1

a2

=

-(a2- 3 2 )2+ 5 4

a2

，
∵a²＞

5 +3

2

，
∴

OA

•

OB

＜0，
∴∠AOB為鈍角，
∴OA²+OB²＜AB²．
②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），代入

x2

a2

+

y2

b2

=1整理得：
（b²+a²k²）x²+2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
則x₁x₂=

a2k2-a2b2

b2+a2k2

，x₁+x₂=

-2a2k2

b2+a2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂（1+k²）+k²（x₁+x₂）+k²
=

(a2k2-a2b2)(1+k2)-2a2k4+k2(b2+a2k2)

b2+a2k2

=

k2(a2+b2-a2b2)-a2b2

b2+a2k2

=

k2(-a4+3a2-1)-a2b2

b2+a2k2

，
由①知，-a⁴+3a²-1＜0，
故

OA

•

OB

=

k2(-a4+3a2-1)-a2b2

b2+a2k2

＜0，
∴∠AOB為鈍角，
∴OA²+OB²＜AB²．
綜上所述：OA²+OB²＜AB²恒成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問題，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．