Question

10．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中，第6項為常數(shù)項，那么其展開式中共有3項是有理項．

Answer 1

分析 寫出二項展開式的通項，由第6項為常數(shù)項求得n=10，再由$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)求得r值，則答案可求．

解答 解：（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式的通項${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}（\root{3}{x}）^{n-r}•（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$．
∵第6項為常數(shù)項，∴$\frac{n-10}{3}=0$，得n=10．
要使$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$為有理項，則$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)，
∴當(dāng)r=2，5，8時，$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)，
∴展開式中共有3項是有理項．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查二項式定理的應(yīng)用，理解有理項的概念是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．